INDUCCIÓN MATEMÁTICA

PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Sea   P   una propiedad definida en los números naturales ( enteros positivos ) . Si   1   satisface esa propiedad y además si a partir de cualquier natural   n   que satisface esa propiedad se llega a que   n   +   1 , también la satisface, entonces cada número natural la satisface.

Para probar que una propiedad   P   se cumple en los números naturales, usando el principio de inducción matemática, se siguen los siguientes pasos:

1° )  Se comprueba para   n   =   1     ( Comprobación ) .

2° )  Se asume que se cumple para   n   =   k     ( Hipótesis de inducción ) .

3° )  Se predice que se cumple para   n   =   k   +   1     ( Tesis ) .

4° )  Se demuestra que si se cumple para   n   =   k  ,  entonces se cumple para   n   =   k   +   1     ( Demostración ) .

Observación:   En algunos casos la propiedad se cumple a partir de un cierto natural   m   >   1  .  Dada esa situación, en el primer paso se comprueba para   n   =   m  .

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Ejemplo 1

Demuestre por inducción matemática que:

Si   n   es un entero positivo, entonces   n ( n   +   1 )   es divisible por  2 .

a ) Sea   n    =    1 , entonces:

n ( n   +   1 )    =    2     ( Verdadero ) .

b ) Sea   n   =   k , entonces:

k ( k   +   1 )   es divisible por   2     ( Hipótesis de inducción ) .

c ) Sea   n   =   k   +   1 , entonces:

( k   +   1 ) ( k   +   2 )   es divisible por   2     ( Tesis ) .

d ) Demostración:

( k   +   1 ) ( k   +   2 )   =    k ( k   +   1 )   +   2 ( k   +   1 )

k ( k   +   1 )   es divisible por   2    ( Por hipótesis de inducción ) .

2 ( k   +   1 )   es divisible por   2     ( Entero par ) .

Por lo tanto   ( k   +   1 ) ( k   +   2 )   es divisible por   2 .

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Ejemplo 2

Demuestre por inducción matemática que:

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 n   –   2 )    =    2 n 2

a ) Sea   n    =    1 , entonces:

4 n   –   2    =    2

2 n 2    =    2    ( Verdadero ) .

b ) Sea   n   =   k , entonces:

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )    =    2 k 2     ( Hipótesis de inducción ) .

c ) Sea   n   =   k   +   1 , entonces:

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )   +   ( 4 ( k   +   1 )   –   2 )    =    2 ( k   +   1 ) 2     ( Tesis ) .

d ) Demostración:

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )    =    2 k 2    ( Por hipótesis de inducción ) .

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )   +   ( 4 ( k   +   1 )   –   2 )    =    2 k 2    +    ( 4 ( k   +   1 )   –   2 )

2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )   +   ( 4 ( k   +   1 )   –   2 )    =    2 k 2   +   4 k   +   2

Por lo tanto   2   +   6   +   10   +   . . . . .   +   ( 4 k   –   2 )   +   ( 4 ( k   +   1 )   –   2 )    =    2 ( k   +   1 ) 2

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Ejemplo 3

Demuestre por inducción matemática que:

Si   n   es un entero positivo, entonces   a 2 n   –   b 2 n   es divisible por   a   +   b .

a ) Sea   n    =    1 , entonces:

a 2 n   –   b 2 n    =    a 2   –   b 2    =    ( a   +   b )( a   –   b )    ( Verdadero ) .

b ) Sea   n   =   k , entonces:

a 2 k   –   b 2 k   es divisible por   a   +   b     ( Hipótesis de inducción ) .

c ) Sea   n   =   k   +   1 , entonces:

a 2 ( k  +  1 )   –   b 2 ( k  +  1 )   es divisible por   a   +   b     ( Tesis ) .

d ) Demostración:

a 2 k   –   b 2 k   es divisible por   a   +   b    ( Por hipótesis de inducción ) .

a 2 ( a 2 k   –   b 2 k )   es divisible por   a   +   b .

b 2 k ( a 2   –   b 2 )   es divisible por   a   +   b .

a 2 ( a 2 k   –   b 2 k )   +   b 2 k ( a 2   –   b 2 )   es divisible por   a   +   b .

a 2 k   +   2   –   a 2 b 2 k   +   b 2 k a 2   –   b 2 k   +   2   es divisible por   a   +   b .

Por lo tanto   a 2 ( k  +  1 )   –   b 2 ( k  +  1 )   es divisible por   a   +   b .



Autor: Nelson Lillo Terán

matematicayciencias@gmail.com

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